ЛОГІКА

Тема 5 СУДЖЕННЯ

1. Логічна характеристика судження як форми мислення.

2. Структура і основні види простих (елементарних) суджень.

3. Основні види модальних суджень:

а) алетичні;

б) епістемічні;

в) деонтичні;

г) аксіологічні; ґ) темпоральні.

4. Характеристика складних суджень, створених за допомогою логічних сполучників:

а) заперечення;

б) кон'юнкція;

в) диз'юнкція;

г) імплікація; ґ) еквіваленція.

5. Функціонально-істиннісні відношення між судженнями:

а) відношення між простими атрибутивними судженнями (за логічним квадратом);

39

б) відношення між простими релятивними судженнями;

в) відношення між складними судженнями. 6. Логічні операції над судженнями:

а) трансформація простих атрибутивних суджень;

б) трансформація простих релятивних суджень;

в) трансформація складних суджень.

5.1. Логічна характеристика судження як форми мислення

Судження — це форма мислення, в якій засобами мови розкриваються зв'язки предметів із їх ознаками або відношення між предметами.

Подібно до понять, судження не можна плутати з мовними виразами, у яких їх висловлюють. Одне й те саме судження: "Я маю брусочок крейди" можемо висловити у такий спосіб: "У мене є брусочок крейди" (укр.), "I have a piece of chalk" (англ.), "У меня есть кусочек мела" (рос.) тощо.

Судження мають два види значень: змістове й смислове.

Змістом судження (у логіці зміст часто називають матерією) є його істиннісне значення. У двозначній логіці висловлювань визнається існування лише таких істиннісних значень, як "істина" і "хиба". В інших логічних системах може бути і більша кількість істиннісних значень. Так, у тризначній логіці Я. Лукасевича додається значення "не-визначено" ("невідомо"). Третє значення може бути застосоване, наприклад, щодо оцінки суджень про майбутні події. У межах цього курсу ми оперуємо лише двома значеннями істинності.

Істинним називається таке судження, яке адекватно (правильно) позначає відповідну йому ситуацію у навколишній (позамовній) дійсності. Зрозуміло, якщо судження неадекватно (неправильно) позначає відповідну йому ситуацію у навколишній (позамовній) дійсності, викривлює її, то таке судження ми оцінимо як хибне.

Наприклад, судження "У травні 31 день" буде істинним, а судження "Всі люди є студентами" — хибним.

Окрім матеріального, судження мають смислове значення, тобто несуть певну інформацію про стан справ у навколишній (позамовній) дійсності. Ми можемо ототожнити два судження за їх матерією, але це не означає, що вони збігатимуться за смислом. Наприклад, маємо два істинні судження: "Всі мавпи — живі істоти" та "Україна — європейська держава". Зрозуміло, що ці два судження передають зовсім різну інформацію. Матеріальне й смислове значення суджень досліджуються у логічній семантиці.

40

5.2. Структура і основні види простих (елементарних) суджень

Структура суджень не залежить від будь-яких синтаксичних правил, оскільки є абстрактною системою взаємозв'язків між предметами і властивостями. У традиційній логіці будову елементарних суджень представляють у таких структурах:

1. S є Р;

2. S не є Р,

де S позначає суб'єкт судження — предмет, якому приписується властивість; Р позначає предикат — саму по собі властивість, що приписується предмету; слова "є", "не є" виступають у ролі зв'язок між суб'єктом і предикатом.

Елементарні судження також називаються простими, оскільки вони містять у своїй структурі лише один суб'єкт і один предикат.

Одну й ту саму структуру можуть мати різні за матерією і смисловим значенням судження. Наприклад, судження "Сократ був філософом" (істина), "Кіт є мавпою" (хиба) тощо мають однакову структуру "S є Р", а судження "Людина— не тигр" (істина), "О. С. Пушкін не був поетом" (хиба) та ін. мають структуру "S не є Р".

Прості судження, в яких розкривається зв'язок між предметами думки, в логіці часто називають категоричними,

Судження розрізняють за якістю і кількістю.

Під якістю судження розуміють не його змістове або смислове значення, а насамперед його логічну форму. За якістю судження бувають стверджувальними або заперечними.

У стверджувальних судженнях щось стверджується про предмет думки. Так, у судженні "Всі акули є хижими рибами" ми стверджуємо, що всі предмети (акули) мають певну ознаку (бути хижою рибою).

У заперечних судженнях щось заперечується про предмет думки. Наприклад, у судженні "Жодна корова не є хижаком" ми заперечуємо наявність у предмета (корови) ознаки (бути хижаком).

Під кількістю судження розуміють не якусь конкретну кількість предметів, про які йдеться (наприклад, кількість днів у тижні, кількість планет у Сонячній системі), а характер суб'єкта судження (його логічний обсяг). За кількістю судження поділяють на загальні, часткові й одиничні.

Загальними називають судження, в яких щось стверджується або заперечується стосовно цілого класу (множини) предметів. У таких

41

судженнях використовують слова: "всі", "кожний", "будь-який" тощо. Наприклад, "Всі студенти — люди".

Частковими називають судження, в яких щось стверджується або заперечується лише стосовно частини класу (множини) предметів. Наприклад: "Деякі студенти — заочники".

Одиничними називають судження, в яких щось стверджується або заперечується лише про окремий предмет цього класу. Наприклад: "Петро — студент".

Аристотель першим додав до стверджувальних і заперечних структур кількісні (кванторні) слова "всі" і "деякі" (слово "деякі" в українській мові має кілька значень: 1) "деякі, але, можливо, й усі" та 2) "лише деякі, але не всі"; у цьому випадку воно використовується у першому значенні) і отримав чотири види суджень, які в логіці називаються простими категоричними:

1) загальностверджувальні (А) — "Всі S є Р" ("Всі тигри є хижаками" тощо);

2) загальнозаперечні (Е) — "Всі S не є Р" ("Всі миші не є хижаками" тощо);

3) частково стверджувальні (І) — "Деякі S є Р" ("Деякі люди є вченими" тощо);

4) частково заперечні (О) — "Деякі S не є Р" ("Деякі лебеді — не білі" тощо).

Кванторні (від лат. quantum — скільки) судження широко застосовуються в сучасній математичній логіці. Замість слів буденної мови в ній використовують символи для позначення кількості та якості суджень. Основними кількісними символами у ній служать квантори: існування "З" (перевернута перша літера "Е" від німецького слова "existieren" — існувати) і всезагальності "V" (перевернута перша літера "А" від німецького слова "а//е" — всі). Розрізняють квантифікацію першого порядку (предметну квантифікацію) і другого порядку (кван-тифікацію властивостей).

У математичній логіці майже не використовуються слова буденної мови. Наприклад, судження "Сократ є філософом" можна було б передати у вигляді формули: За1Р(а1), де символ "З" позначає, що цей індивід реально існує (існував), символ "а1" позначає конкретного індивіда — Сократа, а символ "Р" — властивість бути філософом.

Як уже зазначалося в попередньому розділі, квантори у логіку ввів німецький логік Г. Фреге. В результаті використання кванторів судження набули зовсім іншої інтерпретації, ніж у традиційній логіці.

42

Г. Фреге почав тлумачити судження (висловлювання) як пропозиційні функції, які "пробігають" по універсальній множині предметів і, залежно від того, чи має певний предмет (або всі предмети певної множини) ту чи іншу властивість, набувають істиннісного значення — "істина" або "хиба". Використання кванторів мало для логіки революційне значення, сприяло її прогресивному розвитку.

На жаль, проблематику математичної логіки ми далі не розглядаємо у цьому посібнику, оскільки він має досить обмежений обсяг.

Щоб правильно розуміти смисл суджень і правильно ними оперувати, необхідно розуміти принципи, за якими в них розподіляються терміни — суб'єкти і предикати.

Розподіленим називають термін, який мислиться в усьому обсязі судження, а нерозподіленим — такий, що мислиться лише в його частині.

У загальностверджувальних судженнях (А — "Всі S є Р") суб'єкт є розподіленим, а предикат — нерозподіленим. Це наочно видно зі схеми:

Виняток становлять лише так звані загальновиокремлюючі судження, в яких розподіленими є і суб'єкт, і предикат. У таких судженнях суб'єкт і предикат різні за змістом, але збігаються за обсягами. Прикладом таких суджень може бути таке: "Всі люди — розумні істоти, що проживають на Землі." Представимо схему для таких суджень:

43

У частково стверджувальних судженнях (І — "Деякі S є Р") суб'єкт і предикат, як правило, разом нерозподілені (наприклад, "Деякі вчені — поети"). Представимо їх схему:

Також можлива ситуація, коли предикат за обсягом вужчий, ніж суб'єкт (наприклад, "Деякі собаки — вівчарки"). Предикат тоді є розподіленим, а суб'єкт — нерозподіленим. Представимо їх схему:

S

У загальнозаперечних судженнях (Е — "Всі S не є Р") суб'єкт і предикат розподілені. Представимо їх схему:

0

У частково заперечних судженнях (О — "Деякі S не є Р") суб'єкт не розподілений, а предикат розподілений. Представимо їх схему:

Можна вивести таку закономірність, що характеризує розподіл термінів у судженнях:

44

а) суб'єкт розподілений в загальних і нерозподілений у часткових судженнях;

б) предикат розподілений в заперечних і нерозподілений в стверджувальних судженнях.

Знання розподілу термінів у судженнях необхідне для правильного їх перетворення, а також для перевірки правильності безпосередніх і опосередкованих дедуктивних умовиводів.

За характером предиката судження поділяють на види — атрибутивні, екзистенційні й релятивні.

Атрибутивні судження (від лат. attribution — властивість, ознака) розкривають наявність або відсутність у предметів думки тих або інших властивостей (ознак). Наприклад, "Всі люди є живими істотами".

Екзистенційні (від лат. existentia — існування) судження є окремим видом атрибутивних, у них йдеться про наявність або відсутність самого предмета думки. Предикат у них позначається словами: "існує" ("не існує"), "є" ("не є"), "був" ("не був") тощо. Наприклад: "Радянського Союзу вже немає".

Релятивні судження (від лат. relatio — повідомлення, оповіщення) розкривають наявність або відсутність у предмета думки того чи іншого відношення до іншого предмета (або кількох предметів). їхня формула: "х R у", де х, у позначають предмети думки, а символ R (від relatio) позначає відношення між ними. Відношень між предметами існує необмежена кількість: "більше", "менше", "батьківство", "синівство" тощо. Наприклад, у висловлюванні "У 1945 році СРСР переміг у війні Німеччину" стверджується, що між двома предметами існують такі відношення: стосовно СРСР — "бути переможцем у війні", стосовно Німеччини — "бути переможеною у війні".

5.3. Основні види модальних суджень

У логіці виокремлюють і досліджують модальні судження (від лат. modus — спосіб). Вони будуються з простих категоричних суджень за допомогою логічних операторів, які вказують на додаткові обставини, що можуть вплинути на їхнє (суджень) істиннісне значення. Видів модальних суджень існує багато, ми розглянемо лише деякі основні: алетичні, епістемічні, деонтичні, аксіологічні й темпоральні.

1. Алетичні (істиннісні, від гр. aleteja — істина) модальності характеризують вид істинності суджень. Істина буває необхідною, можливою або випадковою.

45

Судження про необхідність (аподиктичні) будуються за допомогою модального оператора "необхідно" ("*"). Наприклад: "Необхідно, що 2*2=4".

Судження про події навколишньої дійсності (асерторичні) будуються за допомогою модального оператора "випадково" ("А"). Наприклад: "Випадково Петро виграв у лото тисячу гривень".

Проблематичні судження будуються за допомогою модального оператора "можливо" ("0"). Насамперед, це судження про майбутні або минулі події, достовірні відомості про які не збереглися. Наприклад: "Можливо, збірна України з футболу стане чемпіоном Європи"; "Можливо, у Києві сьогодні йтиме дощ".

Взаємозв'язки між видами алетичних суджень мають певні закономірності, наприклад, незбалансованість (несиметричність). Наприклад: те, що дійсне, те й можливе, але не навпаки; те, що необхідне, те й дійсне, але не навпаки.

2. Епістемічні, або пізнавальні (від грецьк. episteme — знання), судження визначають характер і ступінь достовірності знання. Існують два основні види епістемічних модальностей: 1) судження, що ґрунтуються на вірі; 2) судження, що ґрунтуються на знанні.

Перший вид суджень будується за допомогою модальних операторів "знаю", "вірю", "впевнений" тощо. Наприклад: "Борис упевнений, що всі політики є брехунами"; "Микола вірить у потойбічне життя".

Другий вид суджень будується за допомогою модальних операторів "знаю", "ймовірно", "достовірно", "доведено" тощо. Такі судження бувають імовірнісними (проблематичними) або достовірними. Наприклад: "Імовірно, життя існувало на Марсі"; "Достовірно відомо, що Земля обертається навколо Сонця".

3. Деонтичні, або нормативні судження (від грецьк. deon — потрібно, повинно) стосуються діяльності людей, норм їхньої поведінки в суспільстві. Існують два основні види деонтичних модальностей: 1) судження про наявність (або відсутність) певного права; 2) судження про наявність (або відсутність) певного обов'язку.

Перший вид суджень будується за допомогою модальних операторів "дозволено", "заборонено", "має право" тощо. Наприклад: "Кожний має право на життя"; "В Україні примусова праця заборонена" і под. Наявність або відсутність прав у громадян правових країн фіксується у відомій формулі: "Дозволено все, що не заборонено законом". Але посадовці повинні керуватись іншою формулою: "Забороняється все, що не дозволяється законом".

46

Другий вид суджень будується за допомогою модальних операторів "зобов'язаний", "повинен" тощо. Наприклад: "Державні органи повинні сприяти професійним спілкам у їх діяльності".

Права й обов'язки громадян повинні бути збалансованими. Кожному праву повинен відповідати певний обов'язок і навпаки, інакше правова система може виявитися неефективною.

4. Аксіологічні, або оціночні, судження будуються за допомогою модальних операторів "добре", "погано", "байдуже" та ін. Вони виявляють ставлення людей до предметів або подій. Зрозуміло, що ставлення різних людей до однакових подій можуть бути різними, що впливає на істиннісне значення таких мовних виразів. Мабуть, далеко не всі німці погодяться, скажімо, із таким твердженням: "Добре, що союзники (СРСР, США, Великобританія) перемогли фашистську Німеччину у війні".

Аксіологічні судження досліджуються логічною прагматикою.

5. У темпоральних судженнях враховуються часові характеристики, які можуть вплинути на істиннісне значення суджень про події в навколишній дійсності. Вони будуються за допомогою модальних операторів "раніше", "вчора", "минулого тижня", "у майбутньому", "завтра", "наступного місяця" тощо. Наприклад: "Наступного тижня у нашій групі відбудеться семінар з логіки"; "Минуле літо в наших краях було дуже спекотним".

5.4. Характеристика складних суджень, створених за допомогою логічних сполучників

Складні судження тому й називаються складними, що містять у своєму складі кілька (два або більше) простих суджень. Вони творяться з простих за допомогою логічних сполучників (зв'язок, конекторів). Існують такі основні види складних суджень: кон'юнкція, диз'юнкція, матеріальна імплікація, еквіваленція. У складних судженнях широко застосовується також сполучник заперечення. Але заперечення також може застосовуватись і до простих категоричних суджень.

1. Оператор "заперечення" (позначається символами: "1", "~") змінює істиннісне значення судження на протилежне, тобто перетворює істинне судження на хибне, а хибне — на істинне. В українській мові аналогом оператора заперечення є слово "неправильно".

Наприклад: "Каїр є столицею Єгипту" (істина). "Неправильно, що Каїр є столицею Єгипту" (хиба).

47

2. Кон'юнктивні (поєднувальні) судження (від лат. conjunctio — зв'язок, поєднання) будуть істинними лише у тому разі, коли всі їхні складові частини (їх може бути дві і більше) будуть представлені істинними судженнями. Оператор кон'юнкції в логіці позначається символом "л", його аналогом в українській мові є сполучники "і", "та", "також" та ін.

Розглянемо судження: "Сьогодні Сергій піде на футбол, і сьогодні Сергій піде на дискотеку". У цілому воно буде істинним лише тоді, коли ця людина (Сергій) справді сьогодні піде і на футбол, і на дискотеку.

3. Диз'юнктивні (розділові) судження (від лат. disjunctio — відокремлення, роз'єднання) бувають двох видів: а) прості і б) строгі (сильні). Річ у тім, що сполучник "або", який є аналогом оператора диз'юнкції, має два значення. У першому випадку він використовується для позначення альтернатив, які не виключають одна одну (вони можуть бути одночасно істинними, але не можуть бути одночасно хибними). У другому випадку він використовується для позначення ситуації, коли певні альтернативи є такими, що виключають одна одну (вони не можуть бути одночасно істинними і не можуть бути одночасно хибними).

Отже, проста диз'юнкція буде хибною лише у тому разі, коли всі судження, з яких вона складається, будуть хибними. Для позначення оператора простої диз'юнкції використовують символ "v". Прикладом простої диз'юнкції може бути таке судження: "Сьогодні Сергій піде на футбол або на дискотеку" (зрозуміло, що одна й та сама людина може в один і той же день піти і на футбол, і на дискотеку).

Строга диз'юнкція, на відміну від простої, буде хибною у тому разі, коли всі прості судження, з яких вона складається, будуть істинними. Для позначення строгої диз'юнкції використовують символи "v", "V": тощо. Прикладом строгої диз'юнкції може бути таке судження: "Сьогодні Сергій отримає залік з інформатики, або не отримає". Очевидно, що в тому разі, коли йдеться про одну і ту саму людину, то обидві частини цього судження не можуть бути одночасно істинними й не можуть бути одночасно хибними. Ці судження є контрадикторними (суперечливими).

4. Матеріальна імплікація (від лат. implicatio — переплетення, тісний зв'язок) є умовним судженням, що складається з двох частин (простих або складних суджень). Перша частина імплікації є умовою (основою, антецедентом), а друга — наслідком (консеквентом). Опера

48

тор імплікації позначається символами "з", ": . В українській мові аналогами імплікації є парні сполучники "якщо... , то...", "коли... , тоді... " тощо. У цілому імплікація буде хибною лише у тому разі, коли її умова буде представлена істинним судженням, а наслідок — хибним.

Таке тлумачення умовного зв'язку між судженнями певною мірою суперечить людській інтуїції (ми не звикли вважати істинними, наприклад, судження: "Якщо Житомир є столицею України, то 2+2=5"). Окрім того, як видно з цього прикладу, частини імплікації можуть не містити спільних термінів і не пов'язуватися між собою за смислом, що також суперечить звичному розумінню сполучників: "якщо... , то...", "коли... , тоді... " тощо. Але насправді суперечності тут немає, оскільки оператор матеріальної імплікації пов'язує між собою судження (як окремі цілісні думки) не за їх смисловим, а саме за їх матеріальним (істиннісним) значенням. Те, що таке тлумачення умовного зв'язку між судженнями має право на існування, підтверджується розвитком науки і техніки. Програмне забезпечення для комп'ютерів пишеться саме із використанням матеріальної імплікації.

Наведемо такий приклад матеріальної імплікації: "Якщо воду нагріти до 100 °С, то вона перетвориться на пару". Очевидно, що може існувати ситуація, коли дійсності відповідатимуть і перша, і друга частини цього судження. Але не може бути ситуації (за умови нормального атмосферного тиску), коли ми нагріємо воду до 100 °С, а вона не перетвориться на пару. Зрозуміло, що вода може перетворитися на пару і в тому разі, коли її не нагрівати до 100 °С. Так само вода може і не перетворитися на пару в тому разі, якщо її не нагрівати до 100 °С.

5. Еквівалентні судження (від лат. aequivalens — рівноцінний, рівнозначний) будуть істинними тоді, коли збігатимуться істиннісні значення тих суджень, із яких вони складаються, тобто у тих випадках, коли обидва судження будуть або разом істинні, або разом хибні. Не випадково слово "еквіваленція" перекладається з латинської мови як "рівнозначність", адже істина дорівнює істині, а хиба дорівнює хибі. Як і в попередньому випадку з матеріальною імплікацією, еквіваленція пов'язує між собою не смислове, а лише матеріальне (істиннісне) значення суджень. Оператор еквіваленції позначається символами: Аналогами оператора еквіваленції в українській мові є сполучники: "якщо і тільки якщо..., то...", "тоді і лише тоді, коли..." та ін.

Наприклад: "Якщо і тільки якщо геометрична фігура є квадратом, то вона є рівностороннім прямокутником".

49

Можна подати визначення логічних сполучників у вигляді таблиці:

А

В

АлВ

AvB

AvB

А -»В

 

І

І

X

X

І

І

X

І

І

І

X

X

І

X

І

І

X

X

X

І

І

X

X

І

І

І

X

X

X

І

І

X

X

X

І

І

Ці визначення використовують для перевірки істиннісних значень складних суджень. На них ґрунтується метод таблиць істинності, яким ми скористаємось у подальшому викладенні матеріалу. Спочатку визначають істиннісне значення тих виразів, що стоять у дужках, а потім тих, що поза дужками (див. с. 60, 89 та ін.).

5.5. Функціонально-істиннісні відношення між судженнями

У попередній темі ми розглядали логічні відношення, що спостерігаються між поняттями. Аналогічні відношення існують і між судженнями. Але, на відміну від понять, які не можуть бути істинними чи хибними, між судженнями мають місце логічні відношення, насамперед саме за їх істиннісними значеннями. Це стосується як простих, так і складних суджень.

Відношення між простими судженнями визначаються, з одного боку, їх конкретним змістом, а з другого — їх логічною формою: характером суб'єкта, предиката і логічних операторів. За характером предиката прості судження, як було зазначено вище, поділяються насамперед на атрибутивні і релятивні. Спочатку розглянемо, які відношення існують між атрибутивними судженнями.

А). За своїм змістом атрибутивні судження можуть перебувати у відношеннях порівнюваності і непорівнюваності.

Непорівнювані судження мають або різні суб'єкти, або різні предикати, або одночасно різні суб'єкти і різні предикати. Наприклад: "Книга — джерело знань" і "Тигри — живі істоти" (різні суб'єкти і різні предикати); "Книга — джерело знань" і "Книги роблять із паперу" (однакові суб'єкти і різні предикати) тощо. У непорівнюваних судженнях істинність або хибність одного судження не залежить від істинності або хибності іншого. Тому їх подальший логічний аналіз не здійснюється.

50

Порівнювані судження мають однакові суб'єкти і предикати, але можуть відрізнятися одне від одного за кількістю і якістю. їх можна зіставляти між собою за матеріальним (істиннісним) значенням. За своєю логічною формою порівнювані судження поділяються на сумісні і несумісні.

Сумісні судження містять одну й ту саму думку (повністю або частково). Між ними виникають такі логічні відношення: еквівалентності, підпорядкування, часткового збігу (перетину).

Еквівалентні (рівнозначні) судження можуть бути лише або разом істинними, або разом хибними. В еквівалентних судженнях суб'єкти і предикати є тотожними за смислом поняттями (хоча слова, якими ці поняття позначаються, можуть бути різними). Наприклад: "Всі прокурори — юристи" і "Всі судові обвинувачі мають юридичну освіту".

Несумісні судження містять різні якості (одне судження стверджувальне, інше — заперечне). Між несумісними судженнями можуть існувати логічні відношення: контрарності (протилежності), субконт-рарності (перетину) і контрадикторності (суперечності).

Відношення підпорядкування, часткового збігу, контрарності (протилежності) і контрадикторності (суперечності) спостерігаються між судженнями видів: А, Е, І, О. їх часто відображують у вигляді логічного квадрата.

А    контрарність Е

 

с*/

f

 

І субконтрарність О

Між судженнями видів А — І, Е — О існують відношення підпорядкування. У цих суджень якість термінів однакова, а кількість — різна. Такі судження можуть бути одночасно істинними і одночасно хибними. Підпорядковуючі судження: А (для І), Е (для О) можуть бути хибними, а відповідні їм підпорядковані судження — одночасно істинними, але зворотної ситуації (коли підпорядковані судження будуть хибними і одночасно відповідні їм підпорядковуючі судження — істинними) існу

51

вати не може. Інакше кажучи, з істинності підпорядковуючого судження (А або Е) випливає істинність підпорядкованого (І або О), але не навпаки; із хибності підпорядкованого (І або О) випливає хибність підпорядковуючого (А або Е), але не навпаки. наприклад:

Всі люди — живі істоти (істинне, виду А).

Деякі люди — живі істоти (істинне, виду І).

Деякі люди — тигри (хибне, виду І).

Всі люди — тигри (хибне, виду А).

Між судженнями видів І — О (судженнями однакової кількості, але різної якості) існує відношення субконтрарності (часткової сумісності) . Це означає, що вони не можуть бути одночасно хибними, але можуть бути одночасно істинними. Тобто із хибності одного із них випливає істинність іншого, але не навпаки. наприклад:

Деякі прокурори — не юристи (хибне, виду О).

Деякі прокурори — юристи (істинне, виду О).

Деякі люди є спортсменами (істинне, виду І).

Деякі люди не є спортсменами (істинне, виду О).

Між судженнями видів А — Е існує відношення контрарності (протилежності) . Це означає, що вони не можуть бути одночасно істинними, але можуть бути одночасно хибними. наприклад:

Всі люди — студенти (хибне, виду А).

Всі люди — не студенти (хибне, виду Е).

Між судженнями видів А — О, Е — І (діагоналі квадрата) спостерігаються відношення контрадикторності (суперечності). Це означає, що вони не можуть бути одночасно істинними і не можуть бути одночасно хибними. наприклад:

Всі люди є живими істотами (істинне, виду "А").

Деякі люди не є живими істотами (хибне, виду "О").

Всі коти не є собаками (істинне, виду "Е").

Деякі коти є собаками (хибне, виду "І").

Подамо наочно всі типи відношень між судженнями видів А, Е, І, О у таблиці.

А

Е

І

О

І

X

І

X

X

X

І

І

X

І

X

І

52

Б). Релятивні судження (їх структура: х R у) мають багато спільного з атрибутивними (побудовані з трьох частин, мають кількість і якість): всі х Rу (виду А); деякі х R у (виду І); всі х не Rу (виду Е); деякі х не Rу (виду О). Тому між релятивними судженнями також існують певні відношення: підпорядкування (наприклад, якщо істина, що "всі х більше у", то істиною буде і "деякі х більше у"), часткової сумісності, протилежності, суперечності, логічної незалежності тощо. Але, на відміну від атрибутивних, релятивні судження мають не одномісний предикат, а n-місний (2-місний і більше). Тому залежно від характеру відношення R між предметами х, у всередині судження встановлюються свої специфічні відношення: симетричності й несиметричності, транзитивності і нетранзитивності, рефлексивності і нерефлексивності.

Симетричними (від грецьк. symmetria — співмірність) називають відношення між х, у, коли немає значення, який із цих двох членів попередній, а який наступний. Зміна порядку їх розташування не може впливати на смислове й матеріальне (істиннісне) значення таких суджень. Симетрія має місце у судженнях про рівність, наприклад, "Микола є братом Андрія" (вони однакові між собою як брати), подібність ("іспанська мова подібна до італійської"), одночасність ("Микола їде в метро й одночасно слухає радіо") тощо.

Несиметричними називають відношення між х, у, коли важливий порядок їх розташування, бо зміна порядку може вплинути на смислове або матеріальне значення таких суджень. Наприклад, якщо ми стверджуємо, що судження "Степан є батьком Миколи" є істинним, то це не означає, що ми стверджуємо істинність судження "Микола є батьком Степана" (Микола — не батько Степана, а його син).

Транзитивні (перехідні) (від лат. transitus — перехід) відношення мають місце між двома (або більше) судженнями тоді, коли з одного відношення ми можемо перейти до іншого. Наприклад, якщо х еквівалентне у, а у (в свою чергу) еквівалентне z, то це значить, що х еквівалентне z. Це можуть бути також відношення між різними математичними величинами (якщо 8 більше 6, а 6 більше 4, то 8 більше 4), відрізками часу, частинами простору тощо. Транзитивні судження можуть бути або одночасно істинними, або одночасно хибними. Наприклад, якщо х раніше у, а у раніше z, то х раніше z (якщо понеділок раніше вівторка, а вівторок раніше середи, то понеділок раніше середи).

У нетранзитивних (неперехідних) судженнях ми не можемо з одного істинного релятивного судження перейти до іншого істинного релятивного судження. Наприклад, якщо істинним буде судження "Дмитро —

53

батько Степана" і також істина — "Степан є батьком Миколи", то це не значить, що істинним буде судження "Дмитро — батько Миколи", оскільки у нашому прикладі Дмитро буде дідом Миколи. Нетранзи-тивні судження не можуть бути одночасно істинними.

Рефлексивні (від лат. reflexio — відображення) відношення характеризуються тим, що кожний із членів відношення R (між х і у) перебуває у такому ж відношенні до самого себе. Рефлексивними є, наприклад, відношення одночасності, рівності та ін. Наприклад, якщо "4x3=12", то "4x3=4x3" і "12=12". Рефлексивні судження можуть бути лише або одночасно істинними, або одночасно хибними.

Нерефлексивні відношення характеризуються тим, що кожний із членів відношення R (між х і у) не перебуває в такому ж відношенні до самого себе. Наприклад, якщо істина, що "2 менше 5", то це не значить, що істинними будуть судження "2 менше 2" або "5 менше 5". Не-рефлексивні судження не можуть бути одночасно істинними або одночасно хибними.

В). Складні судження також можуть перебувати між собою у певних відношеннях. Але для цього прості судження, з яких вони складаються, повинні містити спільні складові частини (суб'єкти і предикати). Складні судження бувають порівнювані або непорівнювані.

У непорівнюваних судженнях, у простих судженнях, з яких вони складаються, різні всі предикати і суб'єкти, тому такі судження неможливо зіставити за смислом і аналізувати їх співвідношення за істинністю чи хибністю. Наприклад, маємо таке складне судження, в якому між простими відсутній смисловий зв'язок: "Петро вкрав 10 гривень і був затриманий" або "Микола пішов на лекцію з логіки, а після неї поїхав додому".

У порівнюваних судженнях, у простих судженнях, з яких вони складаються, можуть бути спільні суб'єкти, але різні предикати, можуть бути спільні предикати, але різні суб'єкти, і можуть бути спільні і предикати, і суб'єкти. Порівнювані судження бувають сумісні і несумісні, між ними можуть бути ті самі типи відношень, що й між простими атрибутивними.

Сумісні судження бувають еквівалентними, частково сумісними і підпорядковуючими. Несумісні судження бувають протилежними (контрарними) і суперечливими (контрадикторними).

Еквівалентні судження бувають або одночасно істинними, або одночасно хибними. За допомогою еквіваленції часто висловлюють закони логіки, перетворюють одні судження на інші.

54

Підпорядковуючі судження характеризуються тим, що за умови істинності підпорядковуючого судження підпорядковане завжди буде істинним, але не навпаки.

Частково сумісні судження не можуть бути одночасно хибними.

Протилежні (контрарні) судження не можуть бути одночасно істинними.

Суперечливі (контрадикторні) судження не можуть бути одночасно істинними і не можуть бути одночасно хибними. Наприклад, судження P (люди є живими і мислячими істотами) і Q (неправильно, що люди є живими і мислячими істотами) є між собою суперечливими.

Відобразимо відношення, які існують між складними судженнями, у вигляді таблиці (закреслені рядки означають те , що такі судження не можуть набувати цих істиннісних значень одночасно).

Складні порівнювані судження

Сумісні

Несумісні

Еквівалентні

Підпорядковуючі

Частково сумісні

Контрарні

Контрадикторні

P Q

P Q

P Q

P Q

P Q

і і

і-х

х-і

х х

і і

і-х

х і х х

і і і х х і х-х

і-і

і х х і х х

і-і

і х х і х-х

5.6. Логічні операції над судженнями

Існує багато видів логічних операцій над судженнями. Ми розглянемо трансформацію простих і складних суджень. Трансформація суджень потрібна тоді, коли необхідно з'ясувати їх точний логічний смисл. Ця мета досягається за допомогою таких логічних операцій, як обернення, перетворення, протиставлення суб'єкту і протиставлення предикату.

А). Розглянемо спочатку, яким чином ці операції здійснюються над простими атрибутивними судженнями.

55

Обернення (конверсія) — це логічна операція над судженнями, що полягає у перестановці місцями суб'єкта і предиката. У результаті такої операції можуть бути такі наслідки:

1. Загальностверджувальні судження (наприклад, всі адвокати (S) — юристи (P)) можуть обернутися або на частково стверджувальні (наприклад, деякі юристи (S) — адвокати (P)), або ж загальностверджувальні судження (наприклад, всі люди (S) — розумні істоти, які проживають на Землі (P)) можуть обернутися також на загальностверджу-вальні судження (всі розумні істоти, які проживають на Землі (S) — люди (P)). У першому прикладі (це так зване обернення з обмеженням) у судженні суб'єкт розподілений, а предикат — нерозподілений. Подамо цей приклад у виг

 

 ...  9



Обратная связь

По любым вопросам и предложениям

Имя и фамилия*

Е-меил

Сообщение*

↑ наверх